Sort List

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• leetcode: Sort List | LeetCode OJ
• lintcode: (98) Sort List

Sort a linked list in O(n log n) time using constant space complexity.

题解1 - 归并排序(链表长度求中间节点)

链表的排序操作，对于常用的排序算法，能达到 $O(n \log n)$的复杂度有快速排序(平均情况)，归并排序，堆排序。快速排序不一定能保证其时间复杂度一定满足要求，归并排序和堆排序都能满足复杂度的要求。在数组排序中，归并排序通常需要使用 $O(n)$ 的额外空间，也有原地归并的实现，代码写起来略微麻烦一点。但是对于链表这种非随机访问数据结构，所谓的「排序」不过是指针next值的变化而已，主要通过指针操作，故仅需要常数级别的额外空间，满足题意。堆排序通常需要构建二叉树，在这道题中不太适合。

既然确定使用归并排序，我们就来思考归并排序实现的几个要素。

1. 按长度等分链表，归并虽然不严格要求等分，但是等分能保证线性对数的时间复杂度。由于链表不能随机访问，故可以先对链表进行遍历求得其长度。
2. 合并链表，细节已在 Merge Two Sorted Lists | Data Structure and Algorithm 中详述。

在按长度等分链表时进行「后序归并」——先求得左半部分链表的表头，再求得右半部分链表的表头，最后进行归并操作。

由于递归等分链表的操作需要传入链表长度信息，故需要另建一辅助函数。新鲜出炉的源码如下。

/**
 * Definition of ListNode
 * class ListNode {
 * public:
 *     int val;
 *     ListNode *next;
 *     ListNode(int val) {
 *         this->val = val;
 *         this->next = NULL;
 *     }
 * }
 */
class Solution {
public:
    /**
     * @param head: The first node of linked list.
     * @return: You should return the head of the sorted linked list,
                    using constant space complexity.
     */
    ListNode *sortList(ListNode *head) {
        if (NULL == head) {
            return NULL;
        }

        // get the length of List
        int len = 0;
        ListNode *node = head;
        while (NULL != node) {
            node = node->next;
            ++len;
        }

        return sortListHelper(head, len);
    }

private:
    ListNode *sortListHelper(ListNode *head, const int length) {
        if ((NULL == head) || (0 >= length)) {
            return head;
        }

        ListNode *midNode = head;

        int count = 1;
        while (count < length / 2) {
            midNode = midNode->next;
            ++count;
        }

        ListNode *rList = sortListHelper(midNode->next, length - length / 2);
        midNode->next = NULL;
        ListNode *lList = sortListHelper(head, length / 2);

        return mergeList(lList, rList);
    }

    ListNode *mergeList(ListNode *l1, ListNode *l2) {
        ListNode *dummy = new ListNode(0);
        ListNode *lastNode = dummy;
        while ((NULL != l1) && (NULL != l2)) {
            if (l1->val < l2->val) {
                lastNode->next = l1;
                l1 = l1->next;
            } else {
                lastNode->next = l2;
                l2 = l2->next;
            }

            lastNode = lastNode->next;
        }

        lastNode->next = (NULL != l1) ? l1 : l2;

        return dummy->next;
    }
};

源码分析

1. 归并子程序没啥好说的了，见 Merge Two Sorted Lists | Data Structure and Algorithm.
2. 在递归处理链表长度时，分析方法和 Convert Sorted List to Binary Search Tree | Data Structure and Algorithm 一致，count表示遍历到链表中间时表头指针需要移动的节点数。在纸上分析几个简单例子后即可确定，由于这个题需要的是「左右」而不是二叉搜索树那道题需要三分——「左中右」，故将count初始化为1更为方便，左半部分链表长度为length / 2, 这两个值的确定最好是先用纸笔分析再视情况取初值，不可死记硬背。
3. 找到中间节点后首先将其作为右半部分链表处理，然后将其next值置为NULL, 否则归并子程序无法正确求解。这里需要注意的是midNode是左半部分的最后一个节点，midNode->next才是链表右半部分的起始节点。
4. 递归模型中左、右、合并三者的顺序可以根据分治思想确定，即先找出左右链表，最后进行归并(因为归并排序的前提是两个子链表各自有序)。

复杂度分析

遍历求得链表长度，时间复杂度为 $O(n)$, 「折半取中」过程中总共有 $\log(n)$ 层，每层找中点需遍历 $n/2$ 个节点，故总的时间复杂度为 $n/2 \cdot O(\log n)$ (折半取中), 每一层归并排序的时间复杂度介于 $O(n/2)$ 和 $O(n)$之间，故总的时间复杂度为 $O(n \log n)$, 空间复杂度为常数级别，满足题意。

题解2 - 归并排序(快慢指针求中间节点)

除了遍历链表求得总长外，还可使用看起来较为巧妙的技巧如「快慢指针」，快指针每次走两步，慢指针每次走一步，最后慢指针所指的节点即为中间节点。使用这种特技的关键之处在于如何正确确定快慢指针的起始位置。

C++

/**
 * Definition of ListNode
 * class ListNode {
 * public:
 *     int val;
 *     ListNode *next;
 *     ListNode(int val) {
 *         this->val = val;
 *         this->next = NULL;
 *     }
 * }
 */
class Solution {
public:
    /**
     * @param head: The first node of linked list.
     * @return: You should return the head of the sorted linked list,
                    using constant space complexity.
     */
    ListNode *sortList(ListNode *head) {
        if (NULL == head || NULL == head->next) {
            return head;
        }

        ListNode *midNode = findMiddle(head);
        ListNode *rList = sortList(midNode->next);
        midNode->next = NULL;
        ListNode *lList = sortList(head);

        return mergeList(lList, rList);
    }

private:
    ListNode *findMiddle(ListNode *head) {
        if (NULL == head || NULL == head->next) {
            return head;
        }

        ListNode *slow = head, *fast = head->next;
        while(NULL != fast && NULL != fast->next) {
            fast = fast->next->next;
            slow = slow->next;
        }

        return slow;
    }

    ListNode *mergeList(ListNode *l1, ListNode *l2) {
        ListNode *dummy = new ListNode(0);
        ListNode *lastNode = dummy;
        while ((NULL != l1) && (NULL != l2)) {
            if (l1->val < l2->val) {
                lastNode->next = l1;
                l1 = l1->next;
            } else {
                lastNode->next = l2;
                l2 = l2->next;
            }

            lastNode = lastNode->next;
        }

        lastNode->next = (NULL != l1) ? l1 : l2;

        return dummy->next;
    }
};

源码分析

1. 异常处理不仅考虑了head, 还考虑了head->next, 可减少辅助程序中的异常处理。
2. 使用快慢指针求中间节点时，将fast初始化为head->next可有效避免无法分割两个节点如1->2->null^{fast_slow_pointer}。
   • 求中点的子程序也可不做异常处理，但前提是主程序sortList中对head->next做了检测。
3. 最后进行merge归并排序。

在递归和迭代程序中，需要尤其注意终止条件的确定，以及循环语句中变量的自增，以防出现死循环或访问空指针。

复杂度分析

同上。

Reference

• Sort List | 九章算法

• ^{fast_slow_pointer}. LeetCode: Sort List 解题报告 - Yu's Garden - 博客园 ↩